Pregunta 1
La cabeza de una foca mide 15cm de longitud, su cola es tan larga como la cabeza y mide la mitad del lomo. El lomo es tan largo como la cabeza
y la cola juntas. Entonces la foca mide:
A) 30 cm
B) 45 cm
C) 60 cm
D) 65 cm
Pregunta 2
El numero 73 es mayor que 47 en la misma medida que es menor que el número:
Regla de Tres Compuesta
En la regla de Tres Compuesta se aplica de manera simultánea la regla de tres simple para más de dos magnitudes.
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1
Nueve albañiles, en 21 días trabajando 8 horas cada día, han pintado un edificio. ¿Cuántas horas diarias hubieran tenido que trabajar 4 albañiles, para hacer lo mismo en 7 días?
A) 55
B) 54
C) 53
D) 52
Problema 2
Una guarnición de 400 soldados situados en un fuerte tiene víveres para 180 días si consumen 900 gramos por hombre y por día. Si recibe un refuerzo de 100 soldados pero no recibirá víveres antes de 240 días. ¿Cuál deberá ser la ración de un hombre por día para que losvíveres puedan alcanzarles?
A) 540g B) 720g C) 420g D) 450g E) 675g Solución:
Ordenando los datos tenemos:
Soldados días gramos
400 ........... 180 ....... 900
500 ........... 240 ......... x
Entre soldados y víveres (gramos) la relación es inversa. Entre días y víveres(gramos) tambien, luego: x = 900·400/500·180/240 x = 540 Respuesta: La ración de debe ser de 540 gramos.
Problema 3
Cinco orfebres hacen 12 anillos en 15 días. Si se desean hacer 60 anillos en 25 días. ¿Cuántos orfebres doblemente rápidos se deben contratar además de los que se tienen? Solución:
Planteamos la siguiente regla de tres compuesta:
Orfebres Anillos Días
5 ................... 12 .......... 15 x ................... 60 .......... 25
Resolviendo x = 5·60·15/(12·25) x = 15
Luego de resolver la proporcionalidad establecida entre las distintas magnitudes, podemos reconocer que se necesitan 15-5=10 orfebres más, siempre que sean de rapidez normal, pero si son doblemente rápidos, sólo necesitarán la mitad de orfebres 10/2 = 5. Respuesta: Se debe contratar a 5 orfebres.
Problema 4
Un pozo de 8m de díametro y 18m de profundidad fue hecho por 30 obreros en 28 días. Se requiere aumentar en 2m el radio del pozo y el trabajo será hecho por 14 hombres. ¿Cuánto tiempo demorarán?
A) 136 B) 135 C) 133 D) 130 E) 125 Solución:
Se debe relacionar las magnitudes número de obreros, número de días y volumen del pozo, mediante una regla de tres compuesta:
Obreros Días Volumen
30 ........... 28 ........... π·42·18
14 ............ x ............. π·62·18
Despejando x
x = (30·28·π·62·18)/(14·π·42·18)
x = 135 días Respuesta: Los obreros se demoran 135 días.
Problema 5
Un boxeador le pega a una pera, de tal manera que da 5 golpes en 2 s. ¿Cuánto demora en dar 25 golpes a la pera?
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 15 Solución:
Aquí las magnitudes que son proporcionales son el número de golpes con la cantidad de intérvalos que hay entre cada golpe y el tiempo que se demora en dar los golpes. Entonces podemos plantear la siguiente regla de tres:
Número Golpes Cant. intervalos Tiempo (s)
5 ................................ 4 ........................ 2
25 ................................ 24........................ x
Resolviendo
x = 2·24/4
x = 12 s Respuesta: El boxeador se demora 12 segundos.
Problema 6
Un pintor demora 40 minutos en pintar una pared cuadrada de 4 m de lado. ¿Cuánto demora en pintar otra pared cuadrada de 6 m de lado?
A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100 Solución:
Aquí las magnitudes proporcionales son el tiempo que se demora en pintar la pared con el área de la pared pintada.
Superficie pintada (m2) Tiempo(min)
4·4 ...................................... 40
6·6 ....................................... x
Despejamos x
x = 40·36/16
x = 90 Respuesta: El pintor se demora 90 minutos.
Problema 7
Cuatro tractores pueden remover 400 m3 de tierra en 6 horas. ¿Cuánto demorarán seis tractores en remover 800 m3 de tierra?
A) 3 h B) 4 h C) 8 h D) 10 h E) 12 h Solución:
Se establece la relación de proporcionalidad entre el tiempo, con el volumen y el número de tractores. Entonces tenemos la siguiente regla de tres compuesta:
Nº de tractores Volumen( m3) Tiempo(horas)
4 ................................ 400 ........................ 6
8 ................................ 800 ........................ x
Entre las magnitudes tiempo y número de tractores hay una relación inversa y entre tiempo y volumen hay una relación directa, entonces:
x = 6·800/400·4/6
x = 8 Respuesta: Los seis tractores demorarán 8 horas.
Problema 8
Un grupo de 30 obreros debe terminar una obra en 20 días. Luego de 5 días, 5 obreros se retiran. ¿Cuánto demorarán los obreros restantes en terminar la obra?
A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100 Solución:
Hay que tener en cuenta que además de las magnitudes"obreros-días", tambien hay que tener en cuenta la magnitud obra, entonces
Nº de obreros Nº días Obra
30 ........................ 5 .................. 1/4
25 ........................ x .................. 3/4
Aplicando la regla práctica
x = 5·30/25·(3/4)/(1/4)
x = 18 días Respuesta: Los obreros restantes demoran 18 días en acabar la obra.
Problema 9
Un grupo de 20 mujeres debe ordeñar n vacas en 10 días. Luego de 4 días, se les unen 5 mujeres doblemente eficientes. ¿Cuántos días antes logran ordeñar todas las vacas?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Solución:
Las magnitudes a considerar son número de mujeres, número de días y vacas, se debe tener en cuenta que la doble eficiencia es representada por 2.
Nº de mujeres Nº días n vacas
20 ........................ 10 .................. 2/5
20 + 2(5)................ x .................. 3/5
Hallamos x
x = 4·20/30·(3/5)/(2/5)
x = 4 Respuesta: Como ya avanzaron 4 días, y para terminar se demoran otros 4 días, en total son 8 días. Entonces terminan de ordeñar las vacas en 10-8 = 2 días antes.
Problema 10
Diez obreros demorán 8 días en hacer una obra, trabajando 6 horas diarias. ¿Cuánto demoran 24 obreros trabajando 5 horas diarias, en hacer otra obra cuya dificultad es el cuádruple de la anterior?
A) 10 días B) 14 días C) 18 días D) 12 días E) 16 días Solución:
Debemos considerar las magnitudes: obreros, días, horas diarias y dificultad.
Nº de obreros días Horas diarias Dificultad
10 ......................... 8 ...................... 6 ............................ 1
24 .......................... x ..................... 5 ............................ 4
Aplicando la regla practica x = 8·10/24·6/5·4/1 x = 16 días Respuesta: Los obreros se demoran 16 días.
Práctica Básica
Problema modelo
Si 9 costureras hacen 135 pantalones en 4 horas. ¿Cuántos pantalones harán 15 costureras en 8 horas?
A) 200 B) 250 C) 400 D) 450 E) 500
Problema 1
Un grupo de 24 pintores demoran 5 días en pintar una fachada de 100 m2, trabajando 12 horas diarias. ¿Cuánto demorarían 18 pintores en una fachada de 150 m2, trabajando 8 horas diarias? Respuesta: 15 días
Problema 2
Se sabe que 4 hornos industriales consumen 60 kg de carbón en 2 días. ¿Cuántos kilogramos de carbón consumirán 6 hornos industriales en 3 días? Respuesta: 135 kg
Problema 3
Una tripulación de 20 marineros tiene víveres para 40 días. Al cabo del octavo día, 4 de los marineros son desembarcados por enfermedad. ¿Cuántos días podrán alimentarse los marineros restantes con lo que queda? Respuesta: 40
Problema 4
Una cuadrilla de 40 trabajadores puede realizar una obra en 30 días. Al cabo de 2 días se retiran 5 trabajadores. ¿En cuántos días se terminará lo que falta de la obra? Respuesta: 32
Problema 5
Se sabe que 3 carpinteros construyen 42 carpetas, en 2 días. ¿Cuántos días demorarán en construir 210 carpetas, 5 carpinteros? Respuesta: 6
Problema 6
Para construir 600 metros de una carretera, 30 obreros han trabajado 12 días a razón de 10 horas diarias. ¿Cuántos días necesitan 36 obreros, trabajando 6 horas diarias, para construir otra carretera de 900 metros, si la dureza del terreno es el triple que la anterior? Respuesta:75
Problema 7
Un obrero, trabajando 28 días, ha hecho 56 m de una obra. ¿Cuánto tiempo demoran 9 obreros en 60 m de una obra, cuya dificultad con la primera es de 6 a 5? Respuesta:4
Problema 8
Se sabe que 4 costureras pueden confeccionar 60 vestidos en 12 días, a razón de 5 horas diarias. ¿Cuántos vestidos podrán confeccionar 2 costureras de triple rendimiento, a razón de 10 horas diarias durante 6 días? Respuesta: 90
Problema 9
48 obreros pueden fabricar muebles en x días; cinco días después de iniciado el trabajo, 6 de los obreros reducen su eficiencia a la mitad y el trabajo se retrasa 2 días. Hallar x. Respuesta: 35
Problema 10
10 tigres consumen 150 kilogramos de carne en 3 días. Si están con el triple de apetito, ¿en cuántos días 5 tigres consumirán 900 kilogramos de carne? Respuesta: 12
Las sucesiones numéricas son un conjunto ordenado de números. Todas las sucesiones tienen una ley de formación de sus elementos, que puede ser infinita o finita según a la propiedad que obedezcan. Las sucesiones numéricas pueden ser aritméticas, y se obtienen cuando a cada término se le agrega una constante (positiva o negativa). También hay sucesiones geométricas, que surgen multiplicando cada término por una constante (entera o fraccionaria).
Preguntas resueltas de Sucesiones Numéricas
Pregunta 1
El valor de (X + Y) en la sucesión: 1.45; 1.49; 1.57; X; 1.85; 2.05; Y es:
A) 2.18
B) 2.29
C) 3.98
D) 4.58
Pregunta 2
En la siguiente sucesión de números: 2, 12, 5, 10, 8, 8, a , b,
Calcule: a+b
Preguntas que se resuelven con una Regla de Tres Compuesta
La regla de tres compuesta se usa cuando se relacionan tres o más magnitudes (directa o inversas), de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la magnitud desconocida. La regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente.
Preguntas Resueltas Pregunta 1
Se necesitan 120 kg de heno para mantener 12 caballos durante 20 días. ¿Qué cantidad de heno se necesitará para mantener 7 caballos durante 36 días?
A) 125
B) 126
C) 124
D) 127
Pregunta 2
5 hornos consumen 30 toneladas de carbón en 20 días; 3 hornos más consumirán en 25 días una cantidad de carbón
igual a : Solución: => #Hornos ......... Carbon(TN) ........ #días
=> ... 5 ............................ 30 ....................... 20
=> ... 8 .............................. x ........................ 25
Despejando
=> x/30 = 8/5·25/20
=> x = 60 TN
Una de las aplicaciones de proporcionalidad más antigua es la Regla de Tres que resulta al comparar dos o más magnitudes. Cuando cuatro cantidades forman una proporción y una de ellas es desconocida, la operación que tiene por objeto determinar esta incógnita en función de las cantidades conocidas lleva el nombre de Regla de Tres Simple.
Pregunta 1
Para la preparación de una mermelada se necesitan 12 manzanas que cuestan en total $1.60. ¿Cuánto costarán 72 manzanas?
A) $9.0
B) $9.4
C) $9.6
D) $9.8
E) 58
Pregunta 2
Mateo es el triple de rápido que Omar al realizar una tarea. Si juntos pueden culminar la tarea en 15 días, ¿cuántos días emplearía Mateo para realizar la misma tarea trabajando solo?
Razonamiento Numerico: Áreas de Figuras Planas
El área de una figura geométrica es todo el espacio que queda encerrado
entre los límites de esa figura.
Preguntas Resueltas Pregunta 1
Si el lado de un cuadrado es 5 cm más largo que el otro cuadrado y las áreas de los cuadrados difieren en 105 cm2, entonces el lado del cuadrado más pequeño mide:
a) 5 cm
b) 7 cm
c) 13 cm
d) 8 cm
Pregunta 2
Si las dimensiones del patio de forma rectangular de 12 m y 16 m; se reducen a la mitad, ¿en cuánto se reduce el área del patio?
Los objetivos al momento de plantear un problema son:
Interpretar adecuadamente los enunciados en forma literal y representarlos de manera simbólica.
Comprender que lo más importante al tener un conjunto de datos es aprender a relacionarlos adecuadamente.
Plantear una ecuación y luego resolverla acertadamente.
Relacionar lo aprendido con las situaciones concretas de la vida diaria.
Problemas de Planteamiento de Ecuaciones Problema 1
Un aeroplano recorrió 1940 km el primer día, el segundo recorrió 340 km más que el primero y el tercero 890 km menos que entre los dos anteriores. ¿Cuántos km recorrió el aeroplano en total?
Razonamiento Numerico: Problemas con Planteamiento de Ecuaciones.
El plantear una ecuación significa que el enunciado de cualquier problema que se tenga hay que interpretarlo, entenderlo y una vez comprendido, hay que expresarlo en una ecuación matemática, lo cual dará solución al problema planteado.
Problema 1
La edad de Cristina es un tercio de la de su padre y dentro de 16 años será la mitad, entonces la edad de Cristina es:
a) 16 años
b) 24 años
c) 36 años
d) 48 años
Problema 2
La suma de dos números es 24. Tres veces el mayor excede en dos unidades a cuatro veces el menor. Hallar los números.
a) 14 y 16
b) 8 y 14
c) 20 y 10
d) 14 y 10
Problema 3
La suma de A más B es 116. A es 3 menos que C y al mismo tiempo A es 4 más que B. ¿Qué número es C?
a) 63
b) 58
c) 65
d) 67
Problema 4
El señor A debe al señor B, $80 y el señor B debe al señor A, $60. Si el
señor A da al señor B un billete de $50. ¿cuántos dólares de vuelto
debería darle el señor B al señor A?
A) 10
B)20
C)30
D) 40
E)60
Problema 5
Dos veces el área de un cuadrado de lado L es igual a cuatro veces el área de un triángulo de altura L. ¿Cuál es la base del triángulo?
a) 2L
b) L
c) 1/2L
d) 2L/2
Problema 6
Si a la cuarta parte de los 2/5 de un número, se le agrega los 2/5 de
sus 3/8 y se resta los 3/8 de su quinta parte, se obtiene 21. ¿Cuál es
el número?
A) 100
B) 110
C) 120
D) 130
E) 140
Problema 7
¿Cuál es el número cuyo 2/5 equivale a 50?
A) 83
B) 135
C) 120
D) 125
Problema 8
Juan tiene los 5/6 de lo que tiene Pedro. Si Juan recibe $80 de Pedro, éste tiene los 2/5 de lo de
Juan. ¿Cuánto tiene Pedro?
A) $100
B) $138
C) $168
D) $200
Problema 9
Hallar el mayor de dos números tales que su suma sea 100 y su cociente 4.
A)20 B)40 C)60 D)80 E)100
Problema 10
Si 80 excede a 60 en 2x, hallar “x”:
A) 8 B) 5 C) 10 D) 4 E) 6 Solución:
Nos dice que 80 excede, significa que es mayor, ¿y a quien excede?, nos dice a 60, ¿y en cuanto?, nos dice en 2x , identificamos y planteamos:
Cantidad mayor = 80, Cantidad menor = 60, Exceso = 2x
=> 80-60 = 2x
=> 20 = 2x
=> x = 10
Problema 11
Un número excede a 10 tanto como es excedido por 40. ¿hallar el número?
A) 18 B) 25 C) 10 D) 44 E) 26 Solución:
Nos indica que el numero desconocido excede a 10, osea el numero es mayor que 10 tanto (en la misma cantidad o igual), como la cantidad es menor que 40.
Sea “x” la cantidad desconocida, entonces:
=> Un numero excede a 10: x-10,
=> Es excedido por 40: 40-x
Planteamos la ecuación:
=> x-10 = 40-x
=> 2x = 40 + 10
=> 2x = 50
=> x = 25
Por lo tanto: dicho numero es “25”
Problema 12
El exceso del triple de un numero sobre 42 equivale al exceso de 226 sobre el numero. ¿Cuál es el número?
A) 82 B) 65 C) 40 D) 67 E) 16 Solución:
Seal x el numero desconocido.
El exceso del triple de un numero sobre 42: 3x - 42
El xceso de 226 sobre el numero: 226 – x
Entonces podemos plantear:
=> 3x – 42 = 226 – x
=> 4x = 268
=> x = 67
Problema 13
Hallar dos números sabiendo que uno excede al otro en 8 unidades y que el menor es 35
unidades menos que el doble del mayor
A)18 y 10 B)15 y 20 C) 32 y 12 D) 24 y 27 E) 19 y 27 Solución:
Como nos dicen que uno de los números excede al otro en 8, entonces sean los números:
- numero menor: x
- numero mayor: x + 8
Según el enunciado:
=> x = 2(x + 8) – 35
=> x = 2x + 16 –35
=> x = 19
Problema 14
En un examen aprobaron 2/3 de los niños y 3/4 de las niñas; además el examen lo aprobaron el mismo numero de niños que de niñas. El mínimo numero posible de estudiantes en la clase es: